Le bruit thermique

Cette page a pour but d'expliquer de façon simple le bruit thermique dans un système de transmission et les formules associées. Des cours plus théoriques sont disponibles, nous proposons un exposé simple et démonstratif, en espérant apporter ainsi une contribution afin que le praticien comprenne mieux ces phénomènes. A la formule de combinaison des facteurs de bruit (formule de Friis), nous ajoutons la formule très utilisée en transmission, formule de combinaison des rapports signal à bruit. Cette formule approchée est particulièrement simple d'emploi, nous en montrons les limites d'utilisation.

Les exemples et ordres de grandeur sont le plus souvent donnés pour la transmission de signaux de télévision, en système "franco-français" L.

Le signal qui contient les informations que nous cherchons à transmettre est détérioré par des parasites, parfois d'origine externe au système de transmission (exemple bruit galactique dans une réception spatiale, ou parasites d'origine industriels) ou internes au système de transmission. Afin de s'affranchir de ces défauts, ou du moins limiter leurs effets, nous les estimerons. Pour limiter leur impact sur les informations à transmettre, nous utiliserons des types de modulation robustes et en numérique des codes correcteurs d'erreur. Mais limitons nous dans l'immédiat à évaluer ces bruits.

Le bruit thermique est le résultat de l'agitation des électrons des conducteurs (résistances) sous l'action de la température. Il croît avec la température. La densité de puissance de ce bruit s'exprime en Watt par Hertz, et est constante avec la fréquence : ce bruit est "blanc". Ceci est parfaitement vrai pour les domaines de fréquences habituellement utilisés en transmission.

Nous travaillons sur des systèmes où l'impédance est adaptée et la puissance de bruit est alors :
      N ₀= k T DF
avec k = 1,38 10^-23 J/°K
       T température du conducteur en degrés Kelvin
       DF la bande passante en Hertz
       N ₀est la puissance du bruit, dans la bande DF, en Watts

	Application numérique
1.	Pour t de 15°C, T est donc de 288,15°K et la puissance de bruit est donc de 4.10^-21 Watt/Hz ou -174 dBm/Hz (30+10.LOG10(4.10^-21). Cette valeur est bien connue des transmetteurs : la puissance de bruit, à la température ambiante est de N₀ = -174 dBm/Hz ou pour 1 MHz, de -114 dBm dans 1 MHz.
2.	En télévision, en modulation d'amplitude à bande latérale atténuée MA/BLR (AM/VSB en Anglais), l'usage est d'exprimer le niveau de la porteuse en tension efficace, en crête de modulation, c'est à dire pour le standard L, modulation positive, la tension efficace de la porteuse lorsqu'une luminance de blanc est transmise, et en modulation négative(standard B,G ou M), lorsque le top de synchro ligne est transmis. Notons que la puissance correspondant à cette tension n'est pas la puissance moyenne, mais la puissance de la porteuse en crête de modulation. On parlera donc de niveau (ou en Anglais de level). Par souci d'homogénéité, la puissance de bruit est également exprimée en tension.
3.	En standard de télévision L, le bruit est exprimé dans une largeur de bande de 5,58 MHz (pour en savoir plus, suivre ce lien). L'usage veut que l'on se réfère à une température de 300°K (soit 27°C environ). La puissance de bruit est de 2,3.10^-14 Watt, soit une tension V en Volts telle que V² = 75 x 2,3.10^-14 (impédance utilisée de 75 W), donc V = 1,32 µV ou 2,4 dBµV, valeur bien connue des pratiquants du domaine.
4.	En standard de télévision B ou G, on exprime habituellement le bruit dans une bande de 5 MHz, le niveau de bruit est alors de 2 dBµV
5.	Aux USA, en système M/NTSC, le bruit est exprimé dans une bande de 4 MHz, et le niveau de bruit est alors de 1dBµV.
	Si nous parlons de rapport signal à bruit HF ou CNR (pour Carrier to Noise Ratio) avec des étrangers, ou bien si on consulte des spécifications de lien de transmission, il est nécessaire de bien faire attention à la bande passante dans laquelle le bruit est exprimé. Dans les spécifications européennes, souvent on spécifie le CNR dans une bande de 1MHz, afin d'éviter des erreurs et malentendus. Si on discute pour un dixième de dB, cela peut venir de la température ambiante qui a été fixée de manière souvent arbitraire.

Outre le bruit thermique qui est l'objet de cette page, on distingue :
     Le bruit de grenaille (shot noise) que l'on rencontre notamment lors de la réception optique. La diode de réception est une diode PIN, le photon incident déclenche, s'il a assez d'énergie, l'émission d'un électron, avec une certaine probabilité. Ce type de bruit se rencontre dans toute jonction p-n et dans les transistors bipolaires. Il faut que l'énergie du photon incident permette le franchissement de la barrière de potentiel de ces types de composants. Dans un récepteur optique, nous aurons le bruit de grenaille ou shot noise, et l'amplificateur du récepteur (en général du type transimpédance) apportera du bruit thermique vu ci-dessus.
     Le bruit rose, ou flicker noise, (ou également bruit de scintillement ou de papillotement) qui a la différence des bruits précédents pratiquement blancs, est un bruit basse fréquence et dont la densité spectrale est en 1/f, f désignant la fréquence.
     Le burst noise ou bruit popcorn, bruit d'assez basse fréquence , dans le domaine des fréquences audibles, et donc habituellement non rencontré dans nos systèmes de transmission, aux fréquences élevées, surtout après modulation.
On peut modéliser ces différents bruits, mais moins précisément que le bruit thermique.

Intéressons nous au bruit thermique, et faisons quelques remarques préliminaires pour comprendre comment évolue le niveau de bruit, et donc le rapport signal à bruit dans une chaîne de transmission.

1. Le bruit et le rapport signal à bruit en différents points d'un câble.

Le praticien considère en général que le rapport signal à bruit n'est pas, ou du moins peu affecté par la présence d'un câble de liaison. Je vous propose d'examiner ce cas simple avec précision.

1.1. Signal non bruité à l'entrée du câble.
Appliquons à l'entrée d'un câble d'affaiblissement A en nombre naturels, ou en dB : A = 10 Log₁₀ (A) à la fréquence du signal, un signal pur, "sans bruit", de niveau S (en µV). En réalité, le niveau de bruit sera N0 = k.T.DF et le rapport signal à bruit S/N0.
En sortie du câble, le bruit sera toujours N0 et le signal S/A, le rapport signal à bruit en sortie (S/N)_sortie = (S/N)_entrée/A ou en dB :

(S/N)_sortie = S_sortie - N₀avec N₀ bruit k.T.DF exprimé en dBµV comme le signal S

Nous voyons bien que l'affirmation disant que le signal à bruit est peu affecté par la présence d'un câble de liaison est grossièrement fausse, du moins si le signal est "propre" à l'entrée, car pour un signal qui à l'entrée présente un rapport signal à bruit (en dB) S_entrée - N₀a, en sortie verra son rapport signal à bruit diminué de A, atténuation du câble :

1.2. Signal déjà bruité à l'entrée du câble.
Appliquons maintenant un signal déjà bruité par des éléments en amont. Pour être concret, travaillons sur une exemple numérique, de transmission en MA/BLR d'un signal de télévision en standard L.
A l'entrée d'un câble (qui pourrait être une sortie d'amplificateur), supposons que l'on ait un signal de niveau 106 dBµV, avec un rapport signal à bruit de 50 dB.

Ce câble a une perte de 46 dB. Le niveau du signal en sortie est donc de 60 dBµV.
Le bruit à l'entrée du câble sera donc de 106 - 50 = 46 dBµV.
Ce bruit est composé du bruit fondamental k.T.Df et d'un bruit que nous allons évaluer.
Convertissons ces données en nombres naturels : puissance en Watt, affaiblissement en rapport de deux puissances.

Le niveau de 106 dBµV correspond à une tension de 0,199526 Volt ou en puissance, à (0,199526)²/75 = 0.00053081 Watt ou 0,53081 mW.
Le bruit à l'entrée est 50 dB en dessous du signal, et est donc 0,53081.10^-5mW ou 5,3081 nW.
Le bruit fondamental k.T.Df, comme nous l'avons vu précédemment, est de 2,3.10^-14 Watt ou 2,3.10^-5 nW.

L'affaiblissement du câble est de 46 dB, soit en nombre naturel un coefficient d'affaiblissement de 39811.
Le bruit en sortie du câble sera donc, hors bruit fondamental, de 1,333.10^-4 nW et le bruit total de 1,333.10^-4 + 2,3.10^-5 nW = 1,565.10^-4 nW, soit en tension (75*1,565.10^-13)^0,5ou 3,426.10^-6 V ou 10,70 dBµV.

Le signal à bruit en sortie est donc de 60 - 10,7 = 49,3 dB et une dégradation de 0,7 dB, ce qui n'est pas négligeable.

Le graphique ci-dessous montre, pour le même niveau du signal à l'entrée du câble, 106 dBµV, et le même niveau de sortie de 60 dBµV, le rapport signal sur bruit en sortie en fonction du rapport signal sur bruit à l'entrée.

Si le signal à l'entrée est pratiquement dépourvu de bruit, le rapport signal à bruit en sortie est de 57,6 dB, qui correspond bien à 60 dBµV - 2,4 dBµV.
On peut également remarquer, si le rapport signal à bruit en entrée est à cette même valeur de 57,6 dB, en sortie du câble il est dégradé de 3 dB. Nous reviendrons là-dessus lorsque nous aborderons une formule simplifiée de combinaison des rapports signaux à bruit.

2. Le rapport signal à bruit en sortie d'un équipement quelconque - Le facteur de bruit.

Nous avons vu en 1.1 que le rapport signal à bruit en sortie d'un câble est (S/B) _sortie = (S/B) _entrée - A, en exprimant toutes ces valeurs en dB, si nous appliquons à l'entrée du câble un signal non bruité par des équipements précédents.

De même, si à l'entrée d'un équipement quelconque nous appliquons un signal "parfait", c'est à dire simplement entaché du bruit fondamental k.T.Df , le signal sur bruit en sortie sera inférieur au signal sur bruit à l'entrée :

Remarquons que le bruit à l'entrée est k.T.Df (k constante de Boltzmann, égale à k = 1,38 10^-23 J/°K, T température du conducteur en degrés Kelvin et DF la bande passante en Hertz, k.T.Df est donc alors exprimée en Watts).

Si le gain de l'équipement est en dB G, ou en nombre naturel G = 10 ^G/10, le signal à l'entrée est en Watts S_entrée, et en sortie S_sortie= G.S_entréeet le bruit en sortie est N_sortie = F. G. k.T.Df avec F = 10 ^F/10ou en dB : Bruit _sortie = F + G + N₀

On en déduit une méthode de mesure du facteur de bruit d'un équipement actif. On charge l'entrée par une impédance égale à l'impédance caractéristique de l'équipement, et on mesure le bruit en sortie, après filtrage pour bien spécifier la bande passante de l'équipement, et on mesure le niveau de bruit en sortie à l'aide d'un voltmètre quadratique (voltmètre RMS). En mesurant le gain, on en déduira par calcul le facteur de bruit.

Les éléments présentent des facteurs de bruit, en dB, F₁ et F₂, et des gains en dB G₁ et G₂.
Chargeons l'entrée du premier élément par une impédance égale à l'impédance caractéristique de cet équipement.
Le bruit à l'entrée est N ₀= k T DF, en sortie nous n'avons que du bruit, égal à F₁. G₁. k.T.Df., en notant F₁= 10 ^F1/10et G₁ = 10 ^G1/10.

Le deuxième équipement considérera qu'il dispose à son entrée d'un bruit fondamental

En sortie, nous aurons donc un bruit propre au deuxième équipement, F₂.G₂.k.T.Df et du bruit G₂.(F₁. G₁-1). k.T.Df.

N_sortie = F₁₊₂. G₁₊₂. k.T.Df = F₂.G₂.k.T.Df + G₂.(F₁. G₁-1). k.T.Df
en développant et ordonnant :
F₁₊₂. G₁₊₂ = F₁. G₁.G₂ + F₂.G₂- G₂ or G₁₊₂= G₁. G_{2

on en déduit :}

Dans le cas d'un troisième élément, en écrivant que F₁₊₂₊₃. = F₁₊₂+ (F₃- 1)/ G₁₊₂ et en poursuivant de proche en proche, on trouve :

De la courbe de dégradation du signal à bruit due au câble, on voit que si l'on applique à l'entrée un signal très peu bruité, on a une asymptote, qui est niveau de sortie - N₀. Avec la bande passante de la télévision en standard L, 5,58 MHz, et avec le niveau de sortie de notre étude, 60 dBµV, cette limite est donc
60 - 2,4 = 57,4 dB.
Il suffit d'additionner les rapports bruit sur signal, d'entrée et de la limite ci-dessus, pour obtenir une valeur approchée très proche de la réalité :

En effet, en nombres naturels, le bruit en sortie est : N₀ = k.T.Df
Si on applique à l'entrée du câble un signal de niveau S_entrée Watt, avec un rapport signal à bruit (S/N )_entrée, le bruit à l'entrée est donc

La formule approchée consiste à négliger 1/A devant 1. Dans l'exemple de la courbe présentée de dégradation du signal à bruit due au câble, le maximaum de l'erreur, en dB, est de 10^-4 dB, parfaitement négligeable. Cette formule approchée donne un rapport signal à bruit un peu plus mauvais que le calcul exact.

Dans une chaîne de transmission, nous appellerons contribution au bruit d'un équipement actif le rapport signal à bruit en sortie, l'entrée étant chargée par un signal sans bruit (si ce n'est le bruit fondamental N₀ = k.T.Df ) au niveau prévu d'utilisation de cet équipement :

Nous définirons ainsi les contributions au bruit de chacun des éléments, (S/N)i = S_{sortie
de l'équipement i} - G_i - F_i - N₀Notons que l'on préfère utiliser le niveau de sortie, l'entrée de l'équipement étant souvent muni d'un réglage, ou d'un égalisateur de câble qui affectera le facteur de bruit de l'équipement.

Cette formule est approchée, mais elle a l'avantage d'^tre plus facilement utilisable que la formule de Friis :
Cette loi de composition est commutative et associative, ce qui permet de bien voir l'impact d'une modification des caractéristiques des différents éléments.
C'est cette formule qui est couramment utilisée sauf :

Par contre, dans les chaînes de transmission où l'on prendra soin de rester à des niveaux suffisamment forts devant le bruit, elle sera d'un usage fécond.

3.3. L'utilisation de cette formule pour concevoir un plan de transmission.

Si dans un plan de transmission, vous voulez répartir les dégradations dues au bruit thermique, de façon équivalente entre deux sous-ensembles du réseau, si l'on désire au global un S/N meilleur que X dB, on autorisera pour chacun des sous-ensembles une dégradation maximale de X+3 dB.

Si nous avons une partie centrale comportant un nombre réduit d'éléments, tandis que le sous-ensemble en aval, par suite des répartitions, comporte un nombre important d'équipements, on affectera à la partie centrale une faible dégradation, en reportant sur la partie des différentes branches une dégradation plus élevée :
répartition 80-20 : partie branches, X-7dB et partie centrale x-1dB, ce qui donnera une qualité globale de X dB.
répartition 90-10 : partie branches, X-10dB et partie centrale x-0.5dB, ce qui donnera une qualité globale de X dB.
Selon l'importance, en terme de nombre d'équipements, de la partie centrale devant la partie moins noble mais plus largement diffusée, o, adoptera l'une ou l'autre de répartition des dégradations.

Une étude d'optimisation économique pourra affiner ces options faites au départ du projet.

	N _entrée = S_entrée / (S/N )_entrée
et si A désigne l'affaiblissement du câble :	N _sortie = (N _entrée - N₀)/A + N₀
en remarquant que S_entrée = A.S_sortie :	N _sortie/S_sortie = N _entrée/S_entrée+ (1-1/A)N₀/S_sortie
ou	(N /S)_sortie = (N /S)_entrée+ (1-1/A)(N /S)_limite

en dB	(S/N) = S_entrée - F - N₀
	(S/N) = S_sortie - G - F - N₀